¿Qué es y para qué sirve el análisis topológico de datos? – Columna de Investigación Datlas

La generación de información es algo que ha sobrepasado límites que hace no mucho tiempo eran impensables. Para 2020, la media de información almacenada mundial en internet ha sobrepasado los 35 zetabytes (1 zetabyte = 1 billón de terabytes), lo cual ha llevado tanto a la ciencia de datos como al Big Data a convertirse en herramientas clave para conseguir el éxito de organizaciones y empresas. Sin embargo, en ocasiones, es simplemente demasiada información con la cual lidiar, por lo que el proceso de análisis y de obtención de recomendaciones basadas en datos, se vuelve más lento y contraintuitivo.

Ante esta problemática, es de esperarse que nuevas técnicas y metodologías comiencen a ver la luz conforme la tecnología avanza y el poder computacional al que somos capaces de acceder aumenta también. Entre estas nuevas técnicas, hay una que se está volviendo cada vez más relevante por sus excelentes capacidades para lidiar con grandes nubes de datos y poder extraer información de utilidad de ellas; el Análisis Topológico de Datos (o TDA por sus siglas en inglés).

Para entenderla, primero tenemos que entender qué es la topología. La topología es una rama de las matemáticas relativamente joven (nació apenas en el siglo 17), y su objetivo es el estudio de las propiedades invariantes de las figuras en el espacio… Bien, lo anterior podría no tener mucho sentido a menos que se esté un tanto familiarizado con el argot matemático, por lo que ahora, para ponerlo en términos simples, usaremos el siguiente ejemplo:

Imagina por un momento una bola típica de plastilina en tus manos, todos estamos de acuerdo en que la plastilina es un material maleable, ¿verdad? Uno puede usar esa bola para hacer distintas figuras, por ejemplo, con suficiente dedicación, podemos moldear un cubo, una pirámide u otros poliedros. En matemáticas, al acto de moldear esas figuritas de plastilina, le llamamos transformación. Bueno, con esto en mente, podemos decir que una bola de plastilina es topológicamente equivalente a un cubo de la misma plastilina, puesto que podemos formar uno a partir del otro. Sin embargo, tenemos una sola regla: No se puede romper la plastilina ni se le pueden hacer hoyos. Entonces, las preguntas que se haría un topólogo sobre la plastilina son: ¿Qué es lo que hace que podamos formar un cubo a partir de una esfera? ¿o viceversa? ¿Qué aspectos de la figura siguen igual a pesar de aplicarle una transformación?

Para un topólogo, un circulo es lo mismo que una elipse, una esfera es lo mismo que un cubo, y se aplica un razonamiento similar para otras figuras. Incluso, existe un chiste un tanto popular entre matemáticos, que dice que un topólogo no puede distinguir entre una taza de café y una dona.

Ahora bien, volviendo al punto principal. ¿Qué tienen que ver las figuras de plastilina con el análisis de datos?

Si nosotros tomamos una figura y colocamos dos puntos cualesquiera sobre ella, esos puntos van a estar a cierta distancia uno del otro, ¿cierto? Por ejemplo, la distancia del trabajo a casa es un ejemplo de colocar dos puntos sobre una esfera (la tierra). Pero, ¿Qué pasa con esa distancia si la figura original se deforma siguiendo la única regla de la topología? Pues evidentemente, dependiendo de la transformación, esa distancia puede hacerse mas grande o más pequeña. Por ejemplo, si La Tierra fuera de plastilina, y la convirtiéramos en otra figura, entonces la distancia entre la casa y el trabajo evidentemente cambiaría, ¿verdad?

Bueno, el ejemplo anterior fue solamente utilizando dos puntos, la casa, y el trabajo. Pero ahora imagina una base de datos gigantesca, con millones de puntos, como las que empresas como Facebook o Google generan todos los días. ¿Esos puntos sobre qué figura están? La respuesta es muy simple, están sobre el plano cartesiano en algo que los matemáticos llamamos Rn (R a la n potencia)  . Es decir, en el espacio. Como recordaremos de la secundaría, el plano cartesiano es algo así para 2 y 3 dimensiones.

Entonces, aplicando lo que hemos aprendido, si yo tomara el plano cartesiano y lo deformo, ¿Qué les sucede a los puntos que están sobre él? Evidentemente la distancia entre ellos cambia y puntos que estarían lejos entre sí, ahora puede que estén más cerca, u otras cosas muy interesantes pueden pasar.

Además, recordemos que muchos métodos de clasificación utilizan la “distancia” como forma de afirmar si existe una similitud fuerte o no entre varias observaciones. Por lo tanto, si deformamos el plano de forma correcta, es posible que podamos encontrar patrones en los datos que de otra forma estarían ocultos para nosotros y para nuestros algoritmos. Entonces, estas nubes enormes de datos pueden ser subdivididas en clústeres más pequeños y cada uno de estos, ser unido con sus vecinos en relación con la distancia que exista entre ellos, formando así, lo que en topología conocemos como complejos simpliciales.

El TDA definitivamente es mucho más complicado matemáticamente hablando, sin embargo, es una herramienta muy poderosa que está siendo desarrollada para facilitar el trabajo con grandes cantidades de datos.

¿Quieres aprender acerca de esta y otras técnicas innovadoras de análisis de datos?

Equipo Datlas

– Keep it weird –

Referencias:

Carlsson, G.: Topology and Data., Bulletin of the American Mathematical Society no. 46 (2009) 255–308.

Eaton, C., Deroos, D., Deutsch, T., Lapis, G., Zikopoulos, P.: Understanding Big Data. Analytics for enterprise class Hadoop and Streaming Data, The McGraw Hill Companies, 2012

Kahle, M.: Random geometric complexes., Discrete and Computational Geometry 45 no. 3 (2011).

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